1992 · 数学一 · 第 17 题 · 解答题

在变力

F = y z i + z x j + x y k

的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} + \frac{z ^{2}}{c ^{2}} = 1

上第一卦限的点

M (ξ, η, ζ)

。

答案

$ξ = \frac{a}{3}, η = \frac{b}{3}, ζ = \frac{c}{3}$

$W_{m a x} = \frac{ab c}{3 3}$

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因 $F = (y z, z x, x y) = \nabla (x y z)$ ，从原点到 $M (ξ, η, ζ)$ 的功为

W = ξ η ζ .

令 $u = \frac{ξ}{a}$ 、 $v = \frac{η}{b}$ 、 $w = \frac{ζ}{c}$ 。在第一卦限有 $u, v, w > 0$ 且 $u^{2} + v^{2} + w^{2} = 1$ 。由均值不等式，

(uv w)^{2} = u^{2} v^{2} w^{2} \leq (\frac{u ^{2} + v ^{2} + w ^{2}}{3})^{3} = \frac{1}{27} .

等号当且仅当 $u = v = w = \frac{1}{3}$ ，故 $ξ = \frac{a}{3}$ 、 $η = \frac{b}{3}$ 、 $ζ = \frac{c}{3}$ 。

将第一问的等号点代入 $W = ξ η ζ$ ，得

W_{m a x} = \frac{a}{3} \frac{b}{3} \frac{c}{3} = \frac{ab c}{3 3} .