令 $t_k=\frac{k\pi }{n}$，则原极限是 $\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }\sqrt{1+\cos t}\mathrm{d}t$。

在 $[0,\pi ]$ 上，$\sqrt{1+\cos t}=\sqrt{2}\cos \frac{t}{2}$，故极限为 $\frac{1}{\pi }{\left[2\sqrt{2}\sin \frac{t}{2}\right]}_0^{\pi }=\frac{2\sqrt{2}}{\pi }$。