联合分布为：$P((U,V)=(1,1))=\frac{4}{9}$，$P((U,V)=(2,1))=\frac{4}{9}$，$P((U,V)=(2,2))=\frac{1}{9}$，$P((U,V)=(1,2))=0$。

$\mathrm{Cov}(U,V)=\frac{4}{81}$

由于 $X,Y$ 独立同分布，$P(X=1)=P(Y=1)=\frac{2}{3}$，$P(X=2)=P(Y=2)=\frac{1}{3}$。

当 $X=Y=1$ 时，$(U,V)=(1,1)$，其概率为 $\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}=\frac{4}{9}$；当 $X,Y$ 一为 1、一为 2 时，$(U,V)=(2,1)$，其概率为 $2\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{4}{9}$；当 $X=Y=2$ 时，$(U,V)=(2,2)$，其概率为 $\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{9}$。

因此 $(U,V)$ 的联合分布为 $P((U,V)=(1,1))=\frac{4}{9}$，$P((U,V)=(2,1))=\frac{4}{9}$，$P((U,V)=(2,2))=\frac{1}{9}$，而 $P((U,V)=(1,2))=0$。

由第一问的联合分布，$P(U=1)=\frac{4}{9}$，$P(U=2)=\frac{5}{9}$，$P(V=1)=\frac{8}{9}$，$P(V=2)=\frac{1}{9}$。

于是 $E(U)=1\cdot \frac{4}{9}+2\cdot \frac{5}{9}=\frac{14}{9}$，$E(V)=1\cdot \frac{8}{9}+2\cdot \frac{1}{9}=\frac{10}{9}$。

再由联合分布，

因此