1998 · 数学一 · 第 22 题 · 解答题

从正态总体

N (3.4, 6^{2})

中抽取容量为

n

的样本。如果要求其样本均值位于区间

(1.4, 5.4)

内的概率不小于

0.95

，问样本容量

n

至少应取多大？附表：标准正态分布表，

Φ (z) = \int_{- \infty}^{z} \frac{1}{2 π} e^{- \frac{t ^{2}}{2}} d t

：

$z$	$1.28$	$1.645$	$1.96$	$2.33$
$Φ (z)$	$0.900$	$0.950$	$0.975$	$0.990$

答案

$35$

样本均值 $X \sim N (3.4, \frac{36}{n})$ 。令 $Z = \frac{( X - 3.4 )}{( \frac{6}{n} )} \sim N (0, 1)$ 。因此

P (1.4 < X < 5.4) = P (∣ Z ∣ < \frac{2 n}{6}) = 2Φ (\frac{n}{3}) - 1.

要求该概率不小于 $0.95$ ，即 $Φ (\frac{n}{3}) \geq 0.975$ 。由表得 $\frac{n}{3} \geq 1.96$ ，所以 $n \geq (5.88)^{2} = 34.5744$ 。样本容量取整数，最小为 $35$ 。