令 $g(x)=\arctan x+\frac{1}{x}-\frac{\pi }{2}$，其中 $x>0$。则

因此 $g$ 在 $(0,+\infty )$ 上严格递减。

又有 $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)=\frac{\pi }{2}+0-\frac{\pi }{2}=0$。严格递减函数在任一有限 $x>0$ 处的值都大于其趋于正无穷时的极限，故 $g(x)>0$，即 $\arctan x+\frac{1}{x}>\frac{\pi }{2}$。