2019 · 数学三 · 第 16 题 · 解答题

已知

f (u, v)

具有二阶连续偏导数，且

g (x, y) = x y - f (x + y, x - y)

，求

\frac{\partial ^{2} g}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} g}{\partial x \partial y} + \frac{\partial ^{2} g}{\partial y ^{2}}

。

答案

$1 - 3 f_{11} (x + y, x - y) - f_{22} (x + y, x - y)$

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令 $u = x + y$ 、 $v = x - y$ ，以 $f_{i}, f_{ij}$ 表示 $f$ 对其第一、第二变量的偏导，以下均在 $(u, v)$ 处取值。因 $f$ 具有二阶连续偏导， $f_{12} = f_{21}$ 。
（1）一阶偏导为 $g_{x} = y - f_{1} - f_{2}$ 、 $g_{y} = x - f_{1} + f_{2}$ ，其中关于 $y$ 求导时 $v_{y} = - 1$ 的负号不能遗漏。
（2）继续使用链式法则，有 $(f_{i})_{x} = f_{i 1} + f_{i 2}$ 、 $(f_{i})_{y} = f_{i 1} - f_{i 2}$ 。所以

g_{xx} g_{x y} g_{y y} = - (f_{11} + f_{12}) - (f_{21} + f_{22}) = - f_{11} - 2 f_{12} - f_{22}, = 1 - (f_{11} - f_{12}) - (f_{21} - f_{22}) = 1 - f_{11} + f_{22}, = - (f_{11} - f_{12}) + (f_{21} - f_{22}) = - f_{11} + 2 f_{12} - f_{22} .

（3）三式相加， $f_{12}$ 项抵消，得到 $g_{xx} + g_{x y} + g_{y y} = 1 - 3 f_{11} (x + y, x - y) - f_{22} (x + y, x - y)$ 。常数 $1$ 来自 $x y$ 的混合偏导，不能遗漏。

令 $u = x + y$ 、 $v = x - y$ 。作用在 $f (u, v)$ 上时，求导算子满足 $\partial_{x} = \partial_{u} + \partial_{v}$ 、 $\partial_{y} = \partial_{u} - \partial_{v}$ 。由于二阶偏导连续，可交换混合求导次序，于是

\partial_{x}^{2} + \partial_{x} \partial_{y} + \partial_{y}^{2} = (\partial_{u} + \partial_{v})^{2} + (\partial_{u} + \partial_{v}) (\partial_{u} - \partial_{v}) + (\partial_{u} - \partial_{v})^{2} = 3 \partial_{u}^{2} + \partial_{v}^{2} .

$g = x y - f (u, v)$ 中， $x y$ 的三个二阶偏导之和为 $0 + 1 + 0 = 1$ ，所以所求为 $1 - 3 f_{11} (u, v) - f_{22} (u, v)$ ，即 $1 - 3 f_{11} (x + y, x - y) - f_{22} (x + y, x - y)$ 。