记 $A=\sum _{i=1}^n|x_i|$，由样本独立性，$L(\sigma )=(2\sigma {)}^{-n}{e}^{-\frac{A}{\sigma }}$，$\sigma >0$。于是 $\ell (\sigma )=-n\ln 2-n\ln \sigma -\frac{A}{\sigma }$，${\ell }^{\prime }(\sigma )=\frac{(A-n\sigma )}{{\sigma }^2}$。当 $A>0$ 时，似然先增后减，在 $\sigma =\frac{A}{n}$ 取得唯一最大值，故 $\hat{\sigma }=\sum \frac{|X_i|}{n}$。全零样本是零概率事件，此时正参数空间无最大值，可将估计量延拓为零。

利用密度的对称性，并令 $t=\frac{x}{\sigma }$，有

以上两个积分分别分部积分得 $1$ 和 $2$。因此 $D(|X|)=2{\sigma }^2-{\sigma }^2={\sigma }^2$。由独立同分布，$E(\hat{\sigma })=\sigma$，$D(\hat{\sigma })=\frac{n{\sigma }^2}{n^2}=\frac{{\sigma }^2}{n}$。

对 $t\ge 0$，$P(|X|>t)=2{\int }_t^{\infty }(2\sigma {)}^{-1}{e}^{-\frac{x}{\sigma }}dx=e^{-\frac{t}{\sigma }}$，故 $|X|$ 服从均值为 $\sigma$ 的指数分布，方差为 ${\sigma }^2$。独立样本绝对值的平均数因而有期望 $\sigma$、方差 $\frac{{\sigma }^2}{n}$。