将 $f^{\prime }(x_0)=0$ 代入所给等式，得

若 $x_0>0$，分子、分母均为正；若 $x_0<0$，分子、分母均为负。因此总有 $f^{\prime \prime }(x_0)>0$。

由二阶导数判别法，$f(x_0)$ 是 $f(x)$ 的极小值，选择 B。