1998 · 数学一 · 第 15 题 · 解答题

求

n \to \infty lim (\frac{sin \frac{π}{n}}{n + 1} + \frac{sin \frac{2 π}{n}}{n + \frac{1}{2}} + \dots + \frac{sin π}{n + \frac{1}{n}})

。

答案

$\frac{2}{π}$

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第 $k$ 项为 $\frac{sin ( \frac{k π}{n} )}{n + \frac{1}{k}} = \frac{1}{n} \frac{sin ( \frac{k π}{n} )}{1 + \frac{1}{( k n )}}$ 。对 $1 \leq k \leq n$ ，修正因子 $\frac{1}{( 1 + \frac{1}{( k n )} )}$ 一致趋于 1。

因此原和与 $\frac{1}{n} k = 1 \sum n sin (π \frac{k}{n})$ 之差趋于 0，而后者是黎曼和，其极限为

\int_{0}^{1} sin (π x) d x = \frac{2}{π} .