分母可分解为 $x^4+3x^2-4=(x^2-1)(x^2+4)$，在 $x\ge 2$ 上非零。由待定系数或直接通分，

$$\frac{5}{x^4+3x^2-4}=\frac{1}{x^2-1}-\frac{1}{x^2+4}.$$

再用 $\frac{1}{(x^2-1)}=\frac{1}{2}[\frac{1}{(x-1)}-\frac{1}{(x+1)}]$，可取原函数

$$F(x)=\frac{1}{2}\ln \frac{x-1}{x+1}-\frac{1}{2}\arctan \frac{x}{2}.$$

无穷端对数项趋于零，反正切趋于 $\frac{\pi }{2}$，故 $F(x)\to -\frac{\pi }{4}$。下端 $F(2)=-\frac{1}{2}\ln 3-\frac{\pi }{8}$，因此原积分收敛，且

$$I=\underset{b\to +\infty }{\lim }F(b)-F(2)=\frac{1}{2}\ln 3-\frac{\pi }{8}.$$