分别配含 $x_1$、$x_2$ 的项：

故 $f=(x_1+a{x}_3{)}^2-(x_2-2x_3{)}^2+(4-a^2)x_3^2$。令 $y_1=x_1+a{x}_3,y_2=x_2-2x_3,y_3=x_3$，变换矩阵为上三角矩阵，行列式恒为 $1$，故对任意 $a$ 均可逆。因此标准形为

前两项固定贡献一正一负。当 $4-a^2>0$ 时，负惯性指数为 $1$；当 $4-a^2=0$ 时，第三项消失，负惯性指数仍为 $1$；当 $4-a^2<0$ 时，负惯性指数为 $2$。所以所求条件为 $4-a^2\ge 0$，即 $-2\le a\le 2$。
也可结合行列式检查：矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& a\\ 0& -1& 2\\ a& 2& 0\end{array}\right)$ 满足 $|A|=a^2-4$，且在 $x_3=0$ 时二次型为 $x_1^2-x_2^2$，保证至少各有一个正、负方向。$|A|<0$ 时余下特征值为正，$|A|=0$ 时为零，均恰有一个负特征值；端点 $a=\pm 2$ 必须保留。