作变换 $x=r\cos \theta$，$y=r\sin \theta$，雅可比行列式为 $r$，故 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$。原式给出的测度是 $\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$，换回直角坐标时应除以 $r$；$r=0$ 是零面积边界，不影响换元积分。
由 $r\sin \theta =y$，$r^2\cos 2\theta =x^2-y^2$，被积式连同面积元化为

区域条件 $r\le \sec \theta$ 等价于 $x\le 1$，$0\le \theta \le \frac{\pi }{4}$ 等价于 $0\le y\le x$，故像区域为 $D^{\prime }=\{(x,y):0\le y\le x\le 1\}$。其上 $1-x^2+y^2\ge 0$，根式有意义。
先对 $y$ 积分，令 $u=1-x^2+y^2$，得

再令 $x=\sin t$，$0\le t\le \frac{\pi }{2}$，则

最后一步使用偶次幂正弦余弦积分公式。因此 $I=\frac{1}{3}-\frac{\pi }{16}$。