假设对所有$x\in (0,3)$都有$f^{\prime }(x)\ne 0$。导函数具有介值性，因此在连通区间$(0,3)$上不能改变正负号；于是要么处处$f^{\prime }(x)>0$，要么处处$f^{\prime }(x)<0$。

若处处$f^{\prime }(x)>0$，由中值定理得$f(0)<f(1)<f(2)<f(3)=1$，从而$f(0)+f(1)+f(2)<3$，与题设和式等于$3$矛盾。

若处处$f^{\prime }(x)<0$，同理$f(0)>f(1)>f(2)>f(3)=1$，于是$f(0)+f(1)+f(2)>3$，也矛盾。

两种情况均不可能，故存在$\xi \in (0,3)$，使$f^{\prime }(\xi )=0$。