$a\ne -1$

$a=-1$

以两组向量为列组成矩阵，直接计算得 $\det ({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=a+1$，而 $\det ({\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3)=6$。

当 $a\ne -1$ 时两组向量的秩都为 3，均为 ${\mathbb{R}}^3$ 的一组基，因此两组向量等价。

由第一问的行列式结果，当 $a=-1$ 时，第一组矩阵的行列式为 0，且前三个向量中前两个线性无关，所以第一组秩为 2。

第二组行列式恒为 6，秩始终为 3。因此在 $a=-1$ 时两组向量不等价。