由 $r(2E-A)=1$，方程 $(2E-A)x=0$ 的解空间维数为 $3-1=2$，因此 $2$ 是 $A$ 的特征值，且对应两个线性无关的特征向量。由 $r(A+E)=2$，同理知 $-1$ 是特征值，对应特征空间维数为 $1$。
每个特征值的代数重数不小于其特征空间维数，而三阶矩阵的全部代数重数之和为 $3$，所以三个特征值恰为 $2,2,-1$。因此 $|A|=2\cdot 2\cdot (-1)=-4\ne 0$。
由 $A{A}^{\ast }=|A|E$ 两边取行列式，有 $|A||A^{\ast }|=|A{|}^3$。约去非零的 $|A|$，得 $|A^{\ast }|=|A{|}^2=16$。这里 $A+E=A-(-1)E$ 对应特征值 $-1$，而非 $1$。