原函数 $F$ 必须处处可导，因此既要在各分段内部满足 $F^{\prime }=f$，又要在分界点 $x=1$ 连续且导数匹配。
（1）分段积分。当 $x<1$ 时，$F(x)=(x-1{)}^2+C_1$；当 $x>1$ 时，分部积分给出

选项的左段均为 $(x-1{)}^2$，即 $C_1=0$，所以 $F(1^{-})=0$。右段连续接合要求 $-1+C_2=0$，故 $C_2=1$，得到 D。
（2）核验分界点。D 的两段在 $x=1$ 的值均为 $0$；左导数为 $\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{h^2}{h}=0$。右导数为

这里利用 $\ln (1+h)=h+o(h)$。故 $F^{\prime }(1)=0=\ln 1=f(1)$。其余点直接求导，分别得到 $2(x-1)$ 与 $\ln x$，因此 D 在整个实轴上确为原函数。
（3）排除其他选项。A 的右段导数正确，但 $F(1)=-1\ne F(1^{-})=0$，不连续；B、C 的右段导数均为 $\ln x+2$，不等于 $f(x)$。B 虽在分界点连续，也不能成为原函数；C 还存在 $F(1)=2\ne 0$ 的不连续问题。因此选 D。