1998 · 数学三 · 第 11 题 · 解答题

设

z = (x^{2} + y^{2}) e^{- a r c t a n \frac{y}{x}}

。完成下列各问：

答案

$d z = e^{- a r c t a n \frac{y}{x}} [(2 x + y) d x + (2 y - x) d y]$

$\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y} = e^{- a r c t a n \frac{y}{x}} \frac{y ^{2} - x ^{2} - x y}{x ^{2} + y ^{2}}$

查看解析展开

在题式的定义域 $x \neq = 0$ 上，令 $u = arctan \frac{y}{x}$ 。则 $u_{x} = - \frac{y}{x ^{2} + y ^{2}}$ ， $u_{y} = \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}}$ 。

对 $z = (x^{2} + y^{2}) e^{- u}$ 求偏导，得 $z_{x} = e^{- u} (2 x + y)$ ， $z_{y} = e^{- u} (2 y - x)$ 。

故 $d z = e^{- a r c t a n (\frac{y}{x})} [(2 x + y) d x + (2 y - x) d y]$ 。

沿用第一问的 $u$ 及一阶偏导数公式。由 $z_{x} = e^{- u} (2 x + y)$ 及 $(e^{- u})_{y} = - \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}} e^{- u}$ ，有

z_{x y} = e^{- u} (1 - \frac{x ( 2 x + y )}{x ^{2} + y ^{2}}) = e^{- u} \frac{y ^{2} - x ^{2} - x y}{x ^{2} + y ^{2}} .

代回 $u = arctan \frac{y}{x}$ 即得所求。