（1）特征方程为 $r^2+r-2=(r-1)(r+2)=0$，所以通解为 $y=C_1{\mathrm{e}}^x+C_2{\mathrm{e}}^{-2x}$。
（2）函数可导，在内部点 $x=0$ 取得极值，由费马定理得 $y^{\prime }(0)=0$；极值为 $3$ 又给出 $y(0)=3$。由 $y^{\prime }=C_1{\mathrm{e}}^x-2C_2{\mathrm{e}}^{-2x}$，得到

解得 $C_1=2,C_2=1$，故 $y=2{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-2x}$。
（3）核对：$y^{\prime }=2{\mathrm{e}}^x-2{\mathrm{e}}^{-2x}$、$y^{\prime \prime }=2{\mathrm{e}}^x+4{\mathrm{e}}^{-2x}$，所以 $y^{\prime \prime }+y^{\prime }-2y=0$；又 $y(0)=3$、$y^{\prime }(0)=0$、$y^{\prime \prime }(0)=6>0$。故 $x=0$ 确实是极小值点，极小值为 $3$，并非仅满足驻点条件。