记 $h(x)=\frac{|\ln (1-x){|}^{\frac{2}{m}}}{x^{\frac{1}{n}}}$，它在 $(0,1)$ 上连续且非负。把积分在 $\frac{1}{2}$ 处分开，分别考察两个端点。
当 $x\to 0^{+}$ 时，$|\ln (1-x)|\sim x$，所以 $h(x)\sim x^{\frac{2}{m}-\frac{1}{n}}$。由于 $m,n$ 为正整数，$\frac{1}{n}-\frac{2}{m}\le 1-\frac{2}{m}<1$，按零端点幂积分判别法，这一端总收敛。注意此端可能有有限极限，不能一概称为无界瑕点。
当 $x\to 1^{-}$ 时，令 $s=1-x$，得

分母的倒数在该区间有界，而 $s^{\frac{1}{2}}|\ln s{|}^{\frac{2}{m}}\to 0$。因此在零附近被积函数不超过某常数乘 $s^{-\frac{1}{2}}$；后者可积，故另一端也收敛。
两段对所有正整数 $m,n$ 均收敛，因此收敛性与二者取值都无关，选 D。