令 $h(x)=f(g(x))$。因 $g$ 在 $x_0$ 可导且取得极值，费马定理给出 $g^{\prime }(x_0)=0$。由复合函数求导法则，

因此 $h^{\prime }(x_0)=0$，$h^{\prime \prime }(x_0)=f^{\prime }(a)g^{\prime \prime }(x_0)$。已知 $g^{\prime \prime }(x_0)<0$，若 $f^{\prime }(a)>0$，便有 $h^{\prime \prime }(x_0)<0$，由极值的第二充分条件，$h$ 在 $x_0$ 取得极大值，故选 B。
A 的条件使 $h^{\prime \prime }(x_0)>0$，反而得到极小值。C、D 单独均不足以保证极大值：取 $g(x)=-x^2$，$x_0=a=0$；若 $f(u)=-u-u^2$，则 $f^{\prime \prime }(0)<0$，但 $h(x)=x^2-x^4$ 在 $0$ 处极小；若 $f(u)=-u+u^2$，则 $f^{\prime \prime }(0)>0$，但 $h(x)=x^2+x^4$ 仍在 $0$ 处极小。
这里 $f^{\prime }(a)>0$ 是充分条件，不是必要条件；当 $f^{\prime }(a)=0$ 时，不能仅由上述二阶导数判定极值类型。