1988 · 数学三 · 第 11 题 · 解答题

已知

u + e^{u} = x y

，求

\frac{\partial ^{2} u}{\partial x \partial y}

。

答案

$\frac{\partial ^{2} u}{\partial x \partial y} = \frac{( 1 + e ^{u} ) ^{2} - x y e ^{u}}{( 1 + e ^{u} ) ^{3}}$

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对 $u + e^{u} = x y$ 分别关于 $x, y$ 求偏导，得 $u_{x} = \frac{y}{( 1 + e ^{u} )}$ ， $u_{y} = \frac{x}{( 1 + e ^{u} )}$ 。

再对 $u_{x}$ 关于 $y$ 求导：

u_{x y} = \frac{1}{1 + e ^{u}} - \frac{y e ^{u} u _{y}}{( 1 + e ^{u} ) ^{2}} = \frac{1}{1 + e ^{u}} - \frac{x y e ^{u}}{( 1 + e ^{u} ) ^{3}} .

通分即得 $u_{x y} = \frac{(( 1 + e ^{u} ) ^{2} - x y e ^{u} )}{( 1 + e ^{u} ) ^{3}}$ 。