记 $\omega =P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$，其中 $P=\frac{\varphi (y)}{2x^2+y^4}$、$Q=\frac{2xy}{2x^2+y^4}$。右半平面内的曲线 $C$ 不包围原点。

取原点附近且与 $C$ 分离的一条绕原点曲线，并用一条不穿过原点的细窄通道把它与 $C$ 的内部连接，得到两条均绕原点的简单闭曲线。通道两侧的积分在极限中相消，二者积分之差就是 ${\oint }_C\omega$。题设说明二者积分相同，故 ${\oint }_C\omega =0$。

由 p1 对右半平面内任意小闭曲线应用格林公式，得到 $Q_x-P_y=0$（$x>0$）。直接计算得 $Q_x-P_y=\frac{2y^5-4x^{2}y-{\varphi }^{\prime }(y)(2x^2+y^4)+4y^3\varphi (y)}{(2x^2+y^4{)}^2}$。

分子关于 $x^2$ 恒为零，其 $x^2$ 项给出 ${\varphi }^{\prime }(y)=-2y$，故 $\varphi (y)=-y^2+C$。代回常数项得 $4C{y}^3=0$，所以 $C=0$。

因此 $\varphi (y)=-y^2$。代回可得 $Q_x-P_y=0$，与题设的闭曲线积分条件相容。