2014 · 数学一 · 第 3 题 · 选择题

设

f (x, y)

是连续函数，则

\int_{0}^{1} d y \int_{- 1 - y^{2}}^{1 - y} f (x, y) d x =

（　　）。

A
$\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{x - 1} f (x, y) d y + \int_{- 1}^{0} d x \int_{0}^{1 - x^{2}} f (x, y) d y$
B
$\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{1 - x} f (x, y) d y + \int_{- 1}^{0} d x \int_{- 1 - x^{2}}^{0} f (x, y) d y$
C
$\int_{0}^{\frac{π}{2}} d θ \int_{0}^{\frac{1}{cos θ + sin θ}} f (r cos θ, r sin θ) d r + \int_{\frac{π}{2}}^{π} d θ \int_{0}^{1} f (r cos θ, r sin θ) d r$
D
$\int_{0}^{\frac{π}{2}} d θ \int_{0}^{\frac{1}{cos θ + sin θ}} f (r cos θ, r sin θ) r d r + \int_{\frac{π}{2}}^{π} d θ \int_{0}^{1} f (r cos θ, r sin θ) r d r$
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答案

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原积分区域为 $0 \leq y \leq 1$ ， $- 1 - y^{2} \leq x \leq 1 - y$ 。它由两部分组成：第一象限内 $x + y \leq 1$ 的三角形，以及第二象限内 $x^{2} + y^{2} \leq 1$ 的四分之一圆盘。
令 $x = r cos θ$ ， $y = r sin θ$ ，面积元为 $d x d y = r d r d θ$ 。在第一象限 $0 \leq θ \leq \frac{π}{2}$ ，射线与 $x + y = 1$ 相交，故 $0 \leq r \leq \frac{1}{( cos θ + sin θ )}$ ；第二象限 $\frac{π}{2} \leq θ \leq π$ 内则为 $0 \leq r \leq 1$ 。
因此原积分等于

\int_{0}^{\frac{π}{2}} d θ \int_{0}^{\frac{1}{( cos θ + sin θ )}} f (r cos θ, r sin θ) r d r + \int_{\frac{π}{2}}^{π} d θ \int_{0}^{1} f (r cos θ, r sin θ) r d r,

即选项 D。
A 的第一项将第一象限三角形的上界 $1 - x$ 误写成 $x - 1$ ，且积分方向颠倒；B 的第二项取了第三象限的四分之一圆盘，正确的内层应为 $0 \leq y \leq 1 - x^{2}$ ；C 虽然区域正确，但遗漏极坐标面积元中的因子 $r$ 。