先分解 $\frac{1}{(x-1)(x-2)}=\frac{1}{1-x}-\frac{1}{2(1-\frac{x}{2})}$。

当 $|x|<1$ 时，$\frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n$；当 $|x|<2$ 时，$\frac{1}{2(1-\frac{x}{2})}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{2^{n+1}}$。

取共同收敛范围得 $\sum _{n=0}^{\infty }(1-2^{-(n+1)})x^n$，其半径为 $1$。在 $x=\pm 1$ 时通项均不趋于零，故收敛区间为 $(-1,1)$。