2021 · 数学三 · 第 19 题 · 解答题

区域为 $D = {(x, y) : 0 \leq y \leq x, x^{2} + y^{2} \leq 1}$ 。注意 $x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)$ ，令 $u = x + y$ ， $v = x - y$ ，则 $x = \frac{( u + v )}{2}$ ， $y = \frac{( u - v )}{2}$ ，且

\frac{\partial ( x , y )}{\partial ( u , v )} = \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = - \frac{1}{2} .

因此 $d x d y = \frac{1}{2} d u d v$ ，被积函数化为 $uv e^{u^{2}}$ 。由 $y \geq 0$ 得 $v \leq u$ ，由 $y \leq x$ 得 $v \geq 0$ ，由圆盘约束得 $u^{2} + v^{2} \leq 2$ ，故像区域为 $D^{'} = {(u, v) : 0 \leq v \leq u, u^{2} + v^{2} \leq 2}$ 。
先对 $v$ 积分，其上限为 $min {u, 2 - u^{2}}$ 。两上限在 $u = 1$ 相交，故

I = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} u e^{u^{2}} d u \int_{0}^{u} v d v + \frac{1}{2} \int_{1}^{2} u e^{u^{2}} d u \int_{0}^{2 - u^{2}} v d v = \frac{1}{4} (\int_{0}^{1} u^{3} e^{u^{2}} d u + \int_{1}^{2} u (2 - u^{2}) e^{u^{2}} d u) .

两项均令 $t = u^{2}$ ，用分部积分得 $\int t e^{t} d t = (t - 1) e^{t} + C$ 、 $\int (2 - t) e^{t} d t = (3 - t) e^{t} + C$ ，于是

\int_{0}^{1} u^{3} e^{u^{2}} d u \int_{1}^{2} u (2 - u^{2}) e^{u^{2}} d u = \frac{1}{2} [(t - 1) e^{t}]_{0}^{1} = \frac{1}{2}, = \frac{1}{2} [(3 - t) e^{t}]_{1}^{2} = \frac{e ^{2} - 2 e}{2} .

故 $I = \frac{1}{8} (1 + e^{2} - 2 e) = \frac{( e - 1 ) ^{2}}{8}$ 。

答案