2023 · 数学三 · 第 19 题 · 解答题

已知平面区域

D = {(x, y) ∣ (x - 1)^{2} + y^{2} \leq 1}

，计算二重积分

\iint_{D} ∣ x^{2} + y^{2} - 1 ∣ d x d y

。

答案

$33 - \frac{32}{9} - \frac{π}{9}$

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极坐标分段积分。令 $x = r cos θ$ ， $y = r sin θ$ 。由 $(x - 1)^{2} + y^{2} \leq 1$ 得 $r^{2} \leq 2 r cos θ$ ，区域可表示为 $- \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{π}{2}$ 、 $0 \leq r \leq 2 cos θ$ 。被积函数变为 $∣ r - 1∣$ ，结合关于 $x$ 轴的对称性，得

I = 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} d θ \int_{0}^{2 c o s θ} ∣ r - 1∣ r d r .

记 $φ (a) = \int_{0}^{a} ∣ r - 1∣ r d r$ 。当 $0 \leq a \leq 1$ 时， $φ (a) = \frac{a ^{2}}{2} - \frac{a ^{3}}{3}$ ；当 $a \geq 1$ 时，在 $r = 1$ 分段，得

φ (a) = \int_{0}^{1} (r - r^{2}) d r + \int_{1}^{a} (r^{2} - r) d r = \frac{a ^{3}}{3} - \frac{a ^{2}}{2} + \frac{1}{3} .

由 $2 cos θ = 1$ 得分界角 $θ = \frac{π}{3}$ ，所以 $I = 2 (P_{1} + P_{2})$ ，其中

P_{1} P_{2} = \int_{0}^{\frac{π}{3}} (\frac{8}{3} cos^{3} θ - 2 cos^{2} θ + \frac{1}{3}) d θ, = \int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} (2 cos^{2} θ - \frac{8}{3} cos^{3} θ) d θ .

用 $\int cos^{3} θ d θ = sin θ - \frac{sin ^{3} θ}{3} + C$ 及 $\int 2 cos^{2} θ d θ = θ + \frac{sin 2 θ}{2} + C$ ，分别代入端点，得

P_{1} P_{2} = 3 - (\frac{π}{3} + \frac{3}{4}) + \frac{π}{9} = \frac{3 3}{4} - \frac{2 π}{9}, = \frac{π}{2} - (\frac{π}{3} + \frac{3}{4}) - (\frac{16}{9} - 3) = \frac{π}{6} + \frac{3 3}{4} - \frac{16}{9} .

故 $I = 2 (P_{1} + P_{2}) = 33 - \frac{32}{9} - \frac{π}{9}$ 。

整体积分加修正。用极坐标 $D : - \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{π}{2}$ ， $0 \leq r \leq 2 cos θ$ ，记 $D_{1} = D \cap {r \leq 1}$ 。在 $r < 1$ 时补回两倍的 $1 - r$ ，得

I = \iint_{D} (r - 1) d σ + 2 \iint_{D_{1}} (1 - r) d σ .

圆盘 $D$ 面积为 $π$ ，且

\iint_{D} r d σ = \frac{8}{3} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} cos^{3} θ d θ = \frac{32}{9} .

记修正积分为 $J$ 。 $D_{1}$ 上径向上限为 $min {1, 2 cos θ}$ ，由对称性及分界角 $\frac{π}{3}$ 得

J = 2 \int_{0}^{\frac{π}{3}} d θ \int_{0}^{1} (1 - r) r d r + 2 \int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} d θ \int_{0}^{2 c o s θ} (1 - r) r d r = \frac{π}{9} + 2 \int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} (2 cos^{2} θ - \frac{8}{3} cos^{3} θ) d θ = \frac{π}{9} + \frac{π}{3} + \frac{3 3}{2} - \frac{32}{9} .

这里使用原函数 $θ + \frac{sin 2 θ}{2} - \frac{8}{3} (sin θ - \frac{sin ^{3} θ}{3})$ 。故 $I = \frac{32}{9} - π + 2 J = 33 - \frac{32}{9} - \frac{π}{9}$ 。