2001 · 数学二 · 第 9 题 · 选择题

已知函数

f (x)

在区间

(1 - δ, 1 + δ)

内具有二阶导数，

f^{'} (x)

严格单调减少，且

f (1) = f^{'} (1) = 1

，则（　　）。

A
在 $(1 - δ, 1)$ 和 $(1, 1 + δ)$ 内均有 $f (x) < x$
正确答案
B
在 $(1 - δ, 1)$ 和 $(1, 1 + δ)$ 内均有 $f (x) > x$
C
在 $(1 - δ, 1)$ 内 $f (x) < x$ ，在 $(1, 1 + δ)$ 内 $f (x) > x$
D
在 $(1 - δ, 1)$ 内 $f (x) > x$ ，在 $(1, 1 + δ)$ 内 $f (x) < x$

答案

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令 $h (x) = f (x) - x$ ，则 $h (1) = 0$ ，且 $h^{'} (x) = f^{'} (x) - 1$ 。由于 $f^{'}$ 严格递减且 $f^{'} (1) = 1$ ，当 $x < 1$ 时 $h^{'} (x) > 0$ ，当 $x > 1$ 时 $h^{'} (x) < 0$ 。

因此 $h$ 在 $x = 1$ 取得严格极大值 $0$ ，在两侧均有 $h (x) < 0$ ，即 $f (x) < x$ 。故选 A。