（1）识别类型并取对数。记 $u(x)=\frac{(1+2^x)}{2}$，则 $u(x)>0$ 且 $u(x)\to 1$。指数 $\frac{1}{x}$ 的绝对值趋于无穷，不能分别取极限。令 $y=u(x{)}^{\frac{1}{x}}$，则 $\ln y=\frac{\ln u(x)}{x}$。
（2）使用等价无穷小。把底数写成 $u(x)=1+\frac{(2^x-1)}{2}$。由 $2^x-1\sim x\ln 2$ 及 $\ln (1+w)\sim w$，得

$$\ln \frac{1+2^x}{2}\sim \frac{2^x-1}{2}\sim \frac{x\ln 2}{2}.$$

所以 $\ln y\to \frac{(\ln 2)}{2}$。左右两侧均可作上述替换，因此双侧极限存在。
（3）还原原极限。由指数函数连续性，所求极限为 $e^{\frac{(\ln 2)}{2}}=\sqrt{2}$。

使用幂指极限公式。若 $u>0$、$u\to 1$ 且 $v(u-1)\to L$，则 $u^v\to e^L$。本题 $u=\frac{(1+2^x)}{2}$、$v=\frac{1}{x}$，由 $2^x-1\sim x\ln 2$，

$$v(u-1)=\frac{2^x-1}{2x}⟶\frac{\ln 2}{2}.$$

因此原极限为 $e^{\frac{(\ln 2)}{2}}=\sqrt{2}$。