令 $u=\sqrt{{\mathrm{e}}^x-1}$，则 ${\mathrm{e}}^x=1+u^2$、$x=\ln (1+u^2)$、$\mathrm{d}x=\frac{2u}{1+u^2}\mathrm{d}u$。原积分化为 $2\int \ln (1+u^2)\mathrm{d}u$。

分部积分得 $\int \ln (1+u^2)\mathrm{d}u=u\ln (1+u^2)-2u+2\arctan u+C$。

代回即得

$$2x\sqrt{{\mathrm{e}}^x-1}-4\sqrt{{\mathrm{e}}^x-1}+4\arctan \sqrt{{\mathrm{e}}^x-1}+C$$

。