由 $r(A)=m$ 知 $A$ 的 $m$ 个行向量线性无关。若 $BA=0$，则 $B$ 的每一行与 $A$ 相乘所得的零行，都是 $A$ 各行的一个线性组合；行向量线性无关迫使该组合的全部系数为零，故 $B=0$。

满行秩只保证至少一个 $m$ 阶子式非零，不能保证任意列组或任意子式都非零；仅用初等行变换也未必能把任意满行秩矩阵化成 $(E_m,0)$。因此选择 C。