当 $x\to 0$ 时，$\ln (1+x)\sim x$，且 $1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$。

因此

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x\ln (1+x)}{1-\cos x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x\cdot x}{\frac{x^2}{2}}=2.$$