令 $A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n)$。题中的行列式正是 Gram 矩阵 $A^{T}A$ 的行列式。

因此

向量组 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ 线性无关，当且仅当方阵 $A$ 可逆，即 $\det A\ne 0$；由上式，这又当且仅当 $D\ne 0$。充分性与必要性均得证。