配方得 $x^2+2x+2=(x+1{)}^2+1$，分母恒正。原函数为 $\arctan (x+1)$，故

下限 $x=0$ 对应原函数的值是 $\arctan 1$，不可漏掉平移后的下限项。

配方后令 $x+1=\tan t$，则 $dx={\sec }^{2}tdt$，分母为 ${\sec }^{2}t$。当 $x$ 从 $0$ 趋于正无穷时，$t$ 从 $\frac{\pi }{4}$ 趋于 $\frac{\pi }{2}$，所以 $I={\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}dt=\frac{\pi }{4}$。