1995 · 数学一 · 第 2 题 · 填空题

\frac{d}{d x} \int_{x^{2}}^{0} x cos (t^{2}) d t =

。

答案

$\int_{x^{2}}^{0} cos (t^{2}) d t - 2 x^{2} cos (x^{4})$

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令 $I (x) = \int_{x^{2}}^{0} cos (t^{2}) d t$ ，则原式中的积分等于 $x I (x)$ 。

由变限积分求导， $I^{'} (x) = - 2 x cos (x^{4})$ ，故

\frac{d}{d x} [x I (x)] = I (x) + x I^{'} (x) = \int_{x^{2}}^{0} cos (t^{2}) d t - 2 x^{2} cos (x^{4}) .