固定 $x>0$。有 $\frac{y}{1+xy}=\frac{1}{x+\frac{1}{y}}\to \frac{1}{x}$。

又 $y\sin \frac{\pi x}{y}=\pi x\cdot \frac{\sin (\pi \frac{x}{y})}{\pi \frac{x}{y}}\to \pi x$，所以 $\frac{1-y\sin (\pi \frac{x}{y})}{\arctan x}\to \frac{1-\pi x}{\arctan x}$。

因此 $g(x)=\frac{1}{x}-\frac{1-\pi x}{\arctan x}$。

将第一问求得的 $g(x)$ 通分，得 $g(x)=\frac{\arctan x-x+\pi x^2}{x\arctan x}$。

当 $x\to 0^{+}$ 时，$\arctan x=x+O(x^3)$，故分子为 $\pi x^2+O(x^3)$，分母为 $x^2+O(x^4)$，从而 $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }g(x)=\pi$。