1998 · 数学二 · 第 4 题 · 填空题

设

f (x)

连续，则

\frac{d}{d x} \int_{0}^{x} t f (x^{2} - t^{2}) d t =

。

答案

$x f (x^{2})$

令 $u = x^{2} - t^{2}$ ，则 $d u = - 2 t d t$ 。于是

\int_{0}^{x} t f (x^{2} - t^{2}) d t = \frac{1}{2} \int_{0}^{x^{2}} f (u) d u .

由于 $f$ 连续，按微积分基本定理及链式法则，

\frac{d}{d x} (\frac{1}{2} \int_{0}^{x^{2}} f (u) d u) = x f (x^{2}) .