1997 · 数学三 · 第 13 题 · 解答题

一商家销售某种商品的价格满足关系

p = 7 - 0.2 x

（万元/吨），

x

为销售量（单位：吨），商品的成本函数

C = 3 x + 1

（万元）。若每销售一吨商品，政府要征税

t

（万元）。

答案

$x^{*} = ⎩ ⎨ ⎧ 10 - \frac{5}{2} t, 0, 0 \leq t \leq 4 t > 4$ 吨

$t = 2$ 万元/吨

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按经济含义取 $x \geq 0, t \geq 0$ 。销售收入为 $R = (7 - 0.2 x) x$ ，成本和税费合计为 $3 x + 1 + t x$ ，故利润

Π (x) = - 0.2 x^{2} + (4 - t) x - 1.

有 $Π^{''} (x) = - 0.4 < 0$ ，因此驻点给出全局最大值。由 $Π^{'} (x) = 4 - t - 0.4 x = 0$ 得 $x = 10 - 2.5 t$ 。

结合边界 $x \geq 0$ ：当 $0 \leq t \leq 4$ 时最优销售量为 $10 - 2.5 t$ ；当 $t > 4$ 时利润在可行域上递减，最优销售量为 $0$ 。

记第一问求得的最优销售量为 $x^{*} (t)$ 。在区间 $0 \leq t \leq 4$ 内，政府税收为

G (t) = t x^{*} (t) = 10 t - 2.5 t^{2} .

这是开口向下的二次函数， $G^{'} (t) = 10 - 5 t$ ，故唯一内部最大点为 $t = 2$ 。此时 $G (2) = 10$ ；而端点及 $t > 4$ 时税收不超过该值，因此全局最优税率为 $2$ 万元/吨。