令原等式中的积分项为 $I(x)$。取 $x=0$，立即得到 $f(0)=0$。

对原等式两边求导，利用莱布尼茨公式：

因此 $f^{\prime }(x)=2x(f(x)+1)$。

令 $g(x)=f(x)+1$，则 $g^{\prime }(x)=2xg(x)$，且 $g(0)=1$。该初值问题的解为 $g(x)=e^{x^2}$，所以 $f(x)=e^{x^2}-1$。

检验：将 $f^{\prime }(t)=2t{e}^{t^2}$ 代回，作代换 $s=t^2$，有

，再加上 $x^2$ 正好得到 $e^{x^2}-1$。