1990 · 数学一 · 第 23 题 · 解答题

设二维随机变量

(X, Y)

在区域

D : 0 < x < 1, ∣ y ∣ < x

内服从均匀分布，并令

Z = 2 X + 1

。

答案

$f_{X} (x) = {2 x, 0, 0 < x < 1, 其他 .$

$D (Z) = \frac{2}{9}$

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区域 $D$ 的面积为

\int_{0}^{1} 2 x d x = 1,

所以均匀分布在 $D$ 内的联合密度为 $1$ ，区域外为 $0$ 。

当 $0 < x < 1$ 时， $- x < y < x$ ，故

f_{X} (x) = \int_{- x}^{x} 1 d y = 2 x .

在其余 $x$ 处边缘密度为 $0$ 。

由 p1，

E (X) = \int_{0}^{1} x (2 x) d x = \frac{2}{3}, E (X^{2}) = \int_{0}^{1} x^{2} (2 x) d x = \frac{1}{2} .

因此

D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2} = \frac{1}{2} - \frac{4}{9} = \frac{1}{18} .

由 $Z = 2 X + 1$ ，常数平移不改变方差，故

D (Z) = 2^{2} D (X) = 4 \times \frac{1}{18} = \frac{2}{9} .