1997 · 数学三 · 第 2 题 · 填空题

设

f (x) = \frac{1}{1 + x ^{2}} + x^{3} \int_{0}^{1} f (x) d x

，则

\int_{0}^{1} f (x) d x =

。

答案

$\frac{π}{3}$

查看解析展开

令 $I = \int_{0}^{1} f (x) d x$ 。将题给等式在 $[0, 1]$ 上积分，得

I = \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x ^{2}} d x + I \int_{0}^{1} x^{3} d x = \frac{π}{4} + \frac{I}{4} .

因此 $\frac{3 I}{4} = \frac{π}{4}$ ，从而 $I = \frac{π}{3}$ 。