2010 · 数学一 · 第 2 题 · 选择题

设函数

z = z (x, y)

由方程

F (\frac{y}{x}, \frac{z}{x}) = 0

确定，其中

F

为可微函数，且

F_{2}^{'} \neq = 0

，则

x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} =

（　　）。

A
$x$
B
$z$
正确答案
C
$- x$
D
$- z$

答案

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令 $u = \frac{y}{x}$ 、 $v = \frac{z}{x}$ ，其中 $x \neq = 0$ ， $F_{1}, F_{2}$ 表示 $F$ 对其第一、第二变量的偏导，均在 $(u, v)$ 处取值。对题目确定的隐函数分支求导，注意 $z$ 也依赖 $x, y$ 。
（1）固定 $y$ 对 $x$ 求导，有 $u_{x} = - \frac{y}{x ^{2}}$ 、 $v_{x} = \frac{( x z _{x} - z )}{x ^{2}}$ ，所以 $- y F_{1} + F_{2} (x z_{x} - z) = 0$ 。因 $F_{2} \neq = 0$ ，得 $x z_{x} = z + \frac{y F _{1}}{F _{2}}$ 。
（2）固定 $x$ 对 $y$ 求导，有 $u_{y} = \frac{1}{x}$ 、 $v_{y} = \frac{z _{y}}{x}$ ，所以 $F_{1} + F_{2} z_{y} = 0$ ，从而 $y z_{y} = - \frac{y F _{1}}{F _{2}}$ 。
两式相加，抽象偏导项消去，得 $x z_{x} + y z_{y} = z$ ，选 B。
其余选项可用 $F (u, v) = v - sin u$ 排除，此时 $F_{2} = 1$ ， $z = x sin (\frac{y}{x})$ 。在 $x = 1, y = \frac{π}{6}$ 处，所求为 $z = \frac{1}{2}$ ，既不等于 $x = 1$ 、 $- x = - 1$ ，也不等于 $- z = - \frac{1}{2}$ 。

在所考察的局部隐函数分支上，将 $F (u, v) = 0$ 写成 $v = φ (u)$ ，则 $z = x φ (\frac{y}{x})$ 。直接求导可得 $z_{x} = φ (u) - u φ^{'} (u)$ 、 $z_{y} = φ^{'} (u)$ ，因此

x z_{x} + y z_{y} = x φ (u) - y φ^{'} (u) + y φ^{'} (u) = z .

这体现了一次齐次函数的欧拉关系；只需在同一局部分支内理解，不必额外断言任意远处缩放都属于同一隐函数分支。故选 B。