所求概率为 ${\int }_0^{\infty }{\int }_0^y{\mathrm{e}}^{-(x+y)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

内层积分后得到 ${\int }_0^{\infty }({\mathrm{e}}^{-y}-{\mathrm{e}}^{-2y})\mathrm{d}y=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。

联合密度分解为 ${\mathrm{e}}^{-x}{\mathrm{e}}^{-y}$，故 $X,Y$ 独立，且都服从参数为 1 的指数分布。

因此 $E(XY)=E(X)E(Y)=1\times 1=1$。