记 $S(x)=e^{\sin x}-e^{-\sin x}$、$C(x)=e^{\sin x}+e^{-\sin x}=f(x)$，则链式法则给出 $S^{\prime }=\cos xC$、$C^{\prime }=\cos xS$。逐次求导为

在 $x=2\pi$ 处，$\sin x=0$、$\cos x=1$、$S=0$、$C=2$，代入得 $f^{\prime \prime \prime }(2\pi )=0$。

由 $\sin (-x)=-\sin x$，得 $f(-x)=f(x)$，所以 $f$ 是偶函数；它光滑且以 $2\pi$ 为周期，因此 $f^{\prime \prime \prime }$ 也是 $2\pi$ 周期函数。对偶函数恒等式求三次导，得到 $-f^{\prime \prime \prime }(-x)=f^{\prime \prime \prime }(x)$，故 $f^{\prime \prime \prime }$ 为奇函数，$f^{\prime \prime \prime }(0)=0$。于是 $f^{\prime \prime \prime }(2\pi )=f^{\prime \prime \prime }(0)=0$。