被积函数在 $0<x\le 1$ 有意义，以下在开区间 $(0,1)$ 上求原函数。令 $t=\sqrt{x}$，则 $x=t^2$、$\mathrm{d}x=2t\mathrm{d}t$，且 $\ln x=2\ln t$，于是

$$I=\int \frac{\arcsin \sqrt{x}+\ln x}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=2\int \arcsin t\mathrm{d}t+4\int \ln t\mathrm{d}t.$$

两项分别用分部积分。第一项取 $u=\arcsin t$、$\mathrm{d}v=\mathrm{d}t$，得

$$\begin{array}{rl}\int \arcsin t\mathrm{d}t& =t\arcsin t-\int \frac{t}{\sqrt{1-t^2}}\mathrm{d}t\\ & =t\arcsin t+\sqrt{1-t^2}+C,\end{array}$$

其中利用 $\mathrm{d}(1-t^2)=-2t\mathrm{d}t$。第二项取 $u=\ln t$、$\mathrm{d}v=\mathrm{d}t$，得 $\int \ln t\mathrm{d}t=t\ln t-\int 1\mathrm{d}t=t\ln t-t+C$。
合并常数并代回 $t=\sqrt{x}$，注意 $4\sqrt{x}\ln \sqrt{x}=2\sqrt{x}\ln x$，得到

$$\begin{array}{rl}I& =2t\arcsin t+2\sqrt{1-t^2}+4t\ln t-4t+C\\ & =2\sqrt{x}\arcsin \sqrt{x}+2\sqrt{1-x}\\ & +2\sqrt{x}\ln x-4\sqrt{x}+C.\end{array}$$

求导复核：前两项导数分别为 $\frac{(\arcsin \sqrt{x})}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{1-x}}$ 与 $-\frac{1}{\sqrt{1-x}}$；后两项导数分别为 $\frac{(\ln x)}{\sqrt{x}}+\frac{2}{\sqrt{x}}$ 与 $-\frac{2}{\sqrt{x}}$，相加恰为原被积函数。