平移后用对称性。区域 $D:x^2+(y-1{)}^2\le 1$ 是圆心 $(0,1)$、半径 $1$ 的圆盘，面积为 $\pi$，且关于 $y$ 轴对称。因此 ${\iint }_{D}x\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0$，展开后得 $I={\iint }_D{x}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y+\pi$。
令 $u=x$、$v=y-1$，面积元不变，区域化为单位圆盘 $D^{\ast }:u^2+v^2\le 1$。该区域关于 $u=v$ 对称，故

所以 $I=\frac{\pi }{4}+\pi =\frac{5\pi }{4}$。轮换对称性用在平移后的圆盘上，不能直接把原区域上的 $x^2$ 积分替换为 $\frac{(x^2+y^2)}{2}$ 的积分。

直接用极坐标。令 $x=r\cos \theta$、$y=r\sin \theta$，由 $r^2\le 2r\sin \theta$ 可将区域表示为 $0\le \theta \le \pi$、$0\le r\le 2\sin \theta$，故

中间项积分为 $\frac{4}{3}[{\sin }^4\theta {]}_0^{\pi }=0$，末项积分为 $\pi$。首项由关于 $\frac{\pi }{2}$ 的对称性及华里士公式得

因此 $I=\frac{\pi }{4}+0+\pi =\frac{5\pi }{4}$。