1994 · 数学三 · 第 12 题 · 解答题

设函数

y = y (x)

满足条件

{y^{''} + 4 y^{'} + 4 y = 0 y (0) = 2, y^{'} (0) = - 4

，求广义积分

\int_{0}^{+ \infty} y (x) d x

。

答案

$1$

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特征方程为 $(r + 2)^{2} = 0$ ，故

y = (C_{1} + C_{2} x) e^{- 2 x} .

由 $y (0) = 2$ 得 $C_{1} = 2$ ；又 $y^{'} (0) = C_{2} - 2 C_{1} = - 4$ ，所以 $C_{2} = 0$ 。

于是 $y = 2 e^{- 2 x}$ ，从而

\int_{0}^{+ \infty} y (x) d x = \int_{0}^{+ \infty} 2 e^{- 2 x} d x = 1.