（1）构造前三项的反例。若函数 $g$ 在两个不同的非零点取值相同，就可令 $a_n$ 在这两点间交替，使 $a_n$ 发散而 $g(a_n)$ 为常数列。
对 A，令偶数项为 $2$、奇数项为 $\frac{1}{2}$。两子列极限不同，故 $a_n$ 发散，但 $a_n+\frac{1}{a_n}=\frac{5}{2}$ 恒成立，A 不正确。
对 B，令偶数项为 $2$、奇数项为 $-\frac{1}{2}$。此时 $a_n$ 发散，而 $2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$、$-\frac{1}{2}-\frac{1}{(-\frac{1}{2})}=\frac{3}{2}$，故 $a_n-\frac{1}{a_n}$ 为常数列，B 不正确。
对 C，函数 $g(t)=e^t+e^{-t}$ 是偶函数。取 $a_n=(-1{)}^n$，则 $a_n$ 发散，而 $e^{a_n}+e^{-a_n}=e+e^{-1}$，C 不正确。
（2）证明 D。记 $g(t)=e^t-e^{-t}$，则 $g^{\prime }(t)=e^t+e^{-t}>0$，故 $g$ 在实数轴上严格递增。由 $y=e^t-e^{-t}$，令 $u=e^t>0$，得到 $u^2-yu-1=0$。两根之积为 $-1$，唯一正根给出

因为 $\sqrt{y^2+4}>|y|$，对数真数恒正，故此反函数在整个实数轴上有定义且连续。若 $g(a_n)$ 收敛于某个有限数 $L$，则

与 $a_n$ 发散矛盾。因此 $e^{a_n}-e^{-a_n}$ 必发散，选 D。这里不仅用到严格单调性，还用到反函数在任何可能的有限极限点都有定义且连续；仅有严格单调性不能一般地保证上述反推。