（1）由原函数求出 $f(x)$。将不定积分等式两边对 $x$ 求导，得 $\frac{f(x)}{\sqrt{x}}=\frac{x}{3}-1$，故 $f(x)=\frac{x^{\frac{3}{2}}}{3}-x^{\frac{1}{2}}$，积分常数的导数为零。

（2）化简弧长微元。在 $[4,9]$ 上，

由于 $x>0$ 且 $x+1>0$，所以 $\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}=\frac{(x+1)}{(2\sqrt{x})}$。平方和化为完全平方后，弧长积分可直接计算。

（3）应用弧长公式，得

（1）确定旋转半径及弧长微元。由上一问，$f(x)=\frac{\sqrt{x}(x-3)}{3}$，且 $\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}=\frac{(x+1)}{(2\sqrt{x})}$。在 $[4,9]$ 上 $x-3>0$，故 $f(x)>0$，旋转半径 $|f(x)|=f(x)$。

（2）应用旋转曲面面积公式 $A=2\pi {\int }_4^9|f(x)|\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}\mathrm{d}x$。其中曲面面积微元为 $2\pi |f(x)|\mathrm{d}s$，即到旋转轴的距离乘以弧长微元及 $2\pi$。于是