$A=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$

若 $A,B$ 相似，则存在可逆矩阵 $P$ 使 $B=P^{-1}AP$。

对任意 $\lambda$，有 $\lambda I-B=P^{-1}(\lambda I-A)P$，所以 $\det (\lambda I-B)=\det (\lambda I-A)$。故两者特征多项式相等。

取 $A=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$。两者的特征多项式都为 ${\lambda }^2$。

但 $\mathrm{rank}A=0$，$\mathrm{rank}B=1$，而相似矩阵的秩相同，所以它们不相似。

若 $A,B$ 为实对称矩阵且特征多项式相等，则它们的实特征值及其重数完全相同。

由实对称矩阵的谱定理，在适当排列特征值后存在正交矩阵 $Q,R$ 和同一个对角矩阵 $D$，使 $A=QD{Q}^T$、$B=RD{R}^T$。

令 $S=R{Q}^T$，则 $S$ 可逆且 $SA{S}^{-1}=RD{R}^T=B$，所以 $A,B$ 相似，逆命题成立。