由 $F(0)=f(0)$，差商可写为

当 $x\to 0^{+}$ 时右导数为 $f^{\prime }(0)+f(0)$；当 $x\to 0^{-}$ 时左导数为 $f^{\prime }(0)-f(0)$。两者相等必须有 $f(0)=0$，故选 A。